تحقیق تحليل ورقهای مرکب پیزوالکتریک با استفاده از تئوري لايه ای به روش اجزاء محدود 9 ص

دسته بندي : دانش آموزی و دانشجویی » دانلود تحقیق
لینک دانلود و خرید پایین توضیحات
دسته بندی : وورد
نوع فایل :  word (..docx) ( قابل ويرايش و آماده پرينت )
تعداد صفحه : 9 صفحه

 قسمتی از متن word (..docx) : 
 

‏سمينار کارشناسي ارشد مهندسي مکانيک
‏دانشگاه آزاد اسلامي واحد مشهد
‏تحليل ورقهای مرکب پیزوالکتریک ‏با‏ ‏استفاده از تئوري لايه ای به روش اجزا‏ء‏ محدو‏د
‏چکيده
‏در ‏اين مقاله ‏فرمول بندی کلی اجزاء محدود‏ با استفاده از تئوری لایه ای برای تحلیل ورقهای مرکب با لایه های پیزوالکتریک بکار گرفته شده است.‏ ‏این ‏تحقیق‏ تغییر مکانهای کوچک،‏ ‏رفتار الاستیک خطی، توابع مختلف درون یاب در جهتهای مختلف صفحه‏ و همچ‏نین تغییرات ضخامت را نشان می دهد.‏ در ضمن این روش ‏مقایسه ای را بین تئوری های لایه ای‏ ‏با ضخامتهای مختلف انجام می دهد.
‏کلمات کليدي‏: تئوري لايه اي‏1‏،‏ مواد‏ ‏پیزوالکتریک‏2‏، ‏روش اجزا‏ء‏ محدود‏3‏، ‏ورقهای مرکب‏4
‏1- ‏مقدمه
‏اخیراً استفاده از مواد پیزوالکتریک در ساختارهای هوشمند رشد قابل ملاحظه ای داشته است.‏ ‏مواد پیزوالکتریک دارای‏ خاصیت جفت شدگی5‏ و هماهنگی قوی بین پاسخ‏ ‏مکانیکی و الکتریکی هستند‏[1‏]‏.‏
‏وقتی که این مواد تحت تنش ک‏ش‏شی،‏ ‏فشاری یا ‏نیروی برشی قرار می گیرند‏،‏ ‏یک ولتاژ الکتریکی در آنها بوجود می آید.‏ ‏که به عنوان تاثیر مستقیم پیزوالکتریک شناخته می شود‏.
‏لذا دارای کاربردهای مختلفی در علوم مهندسی از جمله هوا فضا،‏ ‏شیمی،‏ ‏عمران،‏ ‏الکترونیک و مکانیک و... می باشند‏[2‏]‏. ‏همچنین می توان به عنوان سنسور برای اندازه گیری مقادیر فیزیکی از جمله کرنش در ساختارهای متفاوت‏ و ‏پیش بینی خرابی ‏از‏ آنها‏ ‏استفاده کرد‏. از مواد پیزوالکتریک می توان به عنوان محرک در کنترل ارتعاشات نیز استفاده نمود‏[3‏]‏.
‏اولین بار یونانیان باستان متوجه خاصیت الکتریکی بویژه شارژ استاتیکی در مواد خاص در هنگام سایش آنها به یکدیگر شدند‏[4]‏.‏ استفاده های نخستین از مواد پیزوالکتریک به سال 1880 بر می گردد زمانی که برادران کوری اثر مستقیم مواد پیزوالکتریک را کشف کردن‏د[5].
Layerwise Theory or LWT
Piezoelectirc Material
Finite Element Method
Laminated Composite
Coupling
Rochelle Salt
Quartz
Barium
Tourmaline
‏دستگاه کاشف زیر دریایی بوسیله امواج صوتی
Stress-based Theories
Displacement-based Theories
‏ویت د‏ر سال 1894 ‏متوجه رابطه بین ساختار مواد و تاثیرات پیزوالکتریک شد. بدین صورت که یک ولتاژ در مواد پیزوالکتریک باعث تغییرات هندسی در آنها می شود .‏که امروزه به نام تاثیرات‏ معکوس پیزوالکتریک شناخته می شود[6]‏.
‏مواد بسیاری از جمله‏ نمک راشل‏6‏ ،کوارتز‏7‏،باریم‏8‏ و کهربای ‏اصل‏9‏ خواص پیزوالکتریک‏ را ‏از خود نشان می دهند. ‏در اوایل سال 1918 ‏لنگ او‏ی‏ن‏ ‏از مواد پیزوالکتریک برای ساخت سونار10‏در جنگ جهانی دوم استفاده کرد. ‏همچنین در دهه 1960 بشر متوجه خاصیت پیزوالکتریک در استخوان و ماهیچه انسان شدند.
‏ب‏ايد توجه‏ داشت‏ که‏ خواص مکانيکي ‏ور‏ق‏ه‏اي ‏مرکب ‏در جهت عرضي‏ ناپيوسته‏ است و اين‏ ‏گونه سازه ها در برابر تنش هاي برشي و عمودي عرضي بسيار تغيير شکل پذير مي باشند. ‏به علت وجود خواص مکانيکي مختلف در‏ ‏جهات و لايه هاي متفاوت، صفحه در حالت کلي ناهمگن بوده و به همين دليل‏ تا به حال تئوري هاي متعددي براي مدل‏-‏ سازي خصوصيات موادي ‏و ‏رفتار سينماتيکي آنها ارائه شده است. اين تئوري ها به ‏طور‏ ‏کلي شامل ‏تئوري هاي مبني بر توزيع ‏ميدان ‏تنش11‏ ‏و‏ توزيع ميدان تغيير مکان12‏ ‏مي باشند.‏ تئوري هاي مبني بر توزيع ‏ميدان ‏تنش‏ ‏کاربرد چنداني در تحليل صفحات ندارند‏،‏ زيرا بسط مدل اجزا‏ء‏ محدود آن‏ها‏ دشوار مي باشد و اغلب از ‏تئوري هاي مبني بر توزيع ‏ميدان تغيير مکان‏ ‏در‏ جهت ‏ضخامت، استفاده مي شو‏د. تئوري هاي مبني بر توزيع ‏ميدان تغيير مکان‏ نيز به دو دسته ‏تئوري هاي تک لايه معادل‏ و ‏تئوري هاي لايه‏ اي تقسيم مي شوند‏.
‏تحليل صفحات کامپوزيتي بر‏ ‏اساس يکي از روش‏ ‏هاي زير است:
‏1‏-1‏) ‏تئوري هاي تک لايه معادل1‏ (دو بعدي)‏:
‏1‏—‏1-‏1) تئوري ‏کلاسيک صفحات چند‏ ‏لايه
‏1-‏2-‏2) ‏تئوري هاي تغيير شکل برشي صفحات چند‏ ‏لايه
‏1-2‏) ‏تئوري سه بعدي الاستيسيته‏:
‏1‏-‏2‏-1‏) ‏فرمول بندي سنتي سه بعدي الاستيسيته
‏1‏-‏2-‏2) ‏تئوري هاي لايه اي
‏1-3‏) ‏روش هاي دو بعدي و سه بعدي مدل چندگانه‏ ‏(روش ‏اجزاء‏ محدود)
‏ت‏ئوري هاي تک لايه معادل از تئوري سه بعدي الاستيسيته ب‏ا ‏ايجاد فرضيات مناسب درباره سينماتيک تغيير شکل يا حالت تنش در راستاي ضخامت چند لايه‏ ‏کامپوزيتي به دست آمده اند.‏ ‏به‏ اين ترتيب مي توان تغيير شکل صفحه ‏کامپوزيتي ‏را در قالب يک تک لايه معادل توصيف نمود و بنابراين مسئله‏ ‏سه بعدي به دو‏ ‏بعد‏ي‏ ‏کاهش پيدا‏ ‏مي کند‏.‏ براي صفحات چند لايه مرکب اين‏ ‏کار‏ ‏مانند آن است‏ ‏که چند لايه ناهمگن با يک تک لايه‏،‏ که از نظر استاتيکي با چند لايه مذکور معادل است، جايگزين گردد. به اين ترتيب ميدان تغيير‏ ‏مکان يا ميدان تنش به صورت ترکيب‏ي‏ خطي از توابع نامعين و مختصه ضخامت در نظر گرفته مي شو‏د‏.‏ تئوري‏ ‏کلاسيک صفحات چند‏ ‏لايه ‏که ‏ساده ترين تئوري تک لايه معادل‏ مي باشد، از ‏بسط تئوري ک‏ی‏رشهف2‏ براي صفحات‏ ‏کامپوزيتي ‏به وجود آمده است‏.‏ ‏طبق اين تئوري‏، ‏خطوط‏ مستقيم‏ ‏که ابتدا عمود بر صفحه‏ مياني بوده اند، بعد از‏ ‏تغيير شکل نيز مستقيم و عمود باقي خواهند ماند. همچنين‏ از تغيير ضخامت صفحه صرفنظر مي شود. ‏تئوري کلاسيک کاربرد وسيعي‏ ‏در تحليل خمش استاتيکي، ارتعاشات و پايداري صفحات نازک دارد‏،‏ ولي از آنجا که از تنش هاي ناشي از تغيير فرم هاي برشي صرفنظر‏ ‏مي‏ ‏کند، از اين تئوري نمي توان در مورد صفحات ضخيم که تغيير‏ ‏شکل هاي برشي در آن حائز اهميت مي باشد، استفاده نمود. بنابراين کاربرد روش کلاسيک محدود به صفحات نازک مي باشد‏.‏ ‏ريزنر و ميندلين به منظور بيان تاثير تنش هاي برشي عرضي‏ ‏بر رفتار صفحات، تئوري هايي ارائه نمودند که اکنون به نام تئوري صفحه ريزنر- ميندلين3‏ ‏و يا تئوري تغييرشکل برشي مرتبه اول4‏ ‏مشهور است‏. تئوري فوق ‏پرکاربرد‏ ‏ترين ‏تئوري ‏در رابطه با تحليل صفحات‏ مي باشد.‏ بر طبق اين تئوري‏ ‏تنش هاي برشي عرضي در جهت ضخامت ثابت فرض مي شوند. بنابراين‏ ‏خطوط مستقيم که ابتدا عمود بر صفحه مياني بوده اند‏،‏ بعد از تغيير شکل مستقيم باقي خواهند ماند‏ ‏اما لزوما‏" ‏عمود بر صفحه مياني نيستند.
Equivalent Single-Layer Theories or ESL Theories
Kirchhoff Theory
Reissner-Mindlin Plate Theory
First-Order Shear Deformation Theory or FSDT
Higher-Order Shear Deformation Theories or HSDT
Piece-wise
‏ با توجه به فرض ثابت بودن تنش هاي برشي عرضي در راستاي ضخامت، ‏به منظور بهبود‏ توزيع ميدان تنش، ‏از ضرايب تصحيح برشي‏ استفاده مي شود. ‏به دليل وجود خطاي غير قابل اغماض‏ ‏تئوري تغيير‏ ‏شکل برشي مرتبه اول‏،‏ خصوصا‏ً‏ در تحليل صفحات ضخيم‏ ‏و‏ ‏نيز‏ ‏در پيش بيني تنش هاي برشي عرضي، محققان سعي نمودند‏ ‏تئوري بهتر‏ي را ‏براي پيشگويي ميدان تنش و‏ ‏کرنش در چند لايه هاي‏ ‏کامپوزيتي ارائه نمايند. به همين جهت تئوري هاي ديگري با هدف رفع محدوديت هاي تئوري کلاسيک و تئوري تغيي‏ر ‏شکل برشي مرتبه اول‏ و تشريح بهتر سينماتيک تغيير شکل صفحات،‏ با در نظر گرفتن فرم‏ ‏کامل‏ ‏تري از تغييرات تنش هاي برشي ارائه شد که به نام تئوري هاي مرتبه بالاتر5‏ ‏شهرت‏ ‏يافته اند. بسط تيلور ميدان تغيير مکان اين تئوري ها در راستاي ضخامت برحسب ترم هاي مرتبه بالاتر بيان مي شود.‏ ا‏ز جمله مزاياي اين تئوري ها آن است که توزيع کرنش هاي برشي را در طول ضخامت به صورت سهموي در نظر گرفته و شرط صفر بودن‏ ‏تنش هاي برشي عرضي را در سطوح صفحه از طريق ‏اعمال‏ شرايط مرزي به ميدان تنش‏،‏ برآورده‏ ‏مي سازند. تئوري هاي تکاملي فوق تحت عنوان تئوري هاي تک لايه معادل شناخته مي شوند‏.‏ ‏مدل ها‏ي تک لايه معادل براي بيان رفتار‏ ‏کلي صف‏ح‏ات چند‏ ‏لايه مانند خيز،‏ ‏فرکانس پايه ارتعاشي،‏ ‏بار‏ ‏کمانش بحراني‏ ‏و منتجه هاي نيرو‏ ‏و ‏ممان‏ مناسبند‏؛‏ اما در‏ ‏تحليل هاي دقيق‏ ‏لايه‏ ‏اي و بين لايه اي و تشريح اثرات موضعي مانند‏ ‏توزيع‏ ‏تنش هاي‏ ‏درون لايه اي‏ و‏ پديده لايه لايه شدن‏ ‏کارايي لازم را ندارند‏.
‏براي پيشگويي دقيق توزيع تنش و به دست آوردن مدلي جامع جهت تشريح سينماتيک تغيير‏ ‏شکل چند‏ ‏لايه هاي‏ ‏کامپوزيتي بايد وضعيت سه بعدي تنش ها را‏ ‏مورد تحليل‏ ‏و ارزيابي قرار داد‏.
‏در تئوري لايه‏ اي‏، صفحه کامپوزيتي به چند زير لايه تقسيم ‏می شود ‏و براي هر‏ کدام‏ ، ميدان تغيير مکان به طور جداگانه ‏فرض‏ مي شود‏؛‏ بنابراين خصوصيات موادي و اثرات برشي منحصر به فرد هر لايه در ميدان تغيير مکان‏ ‏لحاظ‏ ‏مي‏ ‏گردد و باعث مي شود تا نمايش صحيحي‏ ‏از ميدان کرنش در لايه هاي مختلف فراهم آمده و تنش ها در لايه ها با دقت بيشتري محاسبه گردد. در اين تئوري تغييرات ميدان ‏جابجايي‏ در جهت ضخامت بر‏ ‏اساس ‏توابع درونياب ‏يک بعدي لاگرانژ‏ي‏ ‏تعريف مي گردد که به طور خودکار پيوستگي از نوع‏ ‏ را در امتداد ضخامت بر م‏ؤ‏لفه هاي تغيير مکان اعمال مي نمايد و سبب مي شود که کرنش هاي عرضي در امتداد ضخامت به صورت تکه تکه6‏ خطي شوند‏.‏
‏2- ‏ميدان تغيير مکان کلي‏ تئوري هاي تک لايه معادل
‏تئوري‏ ‏کلاسيک‏ و‏ تئوري هاي‏ ‏تغيير شکل برشي‏ ‏مرتبه اول و مرتبه سوم صفحات‏ چند‏ لايه‏ را مي توان در ‏قالب ‏يک تئوري واحد بيان نمود‏:
‏(1)
‏که‏،‏و‏تغيير مکان در جهات‏،‏ ‏می باشند.‏ دو طرف تکیه گاه ساده-دو طرف آزاد‏،‏ ‏ و‏ ‏ به ترتيب چرخش محور عمود بر صفحه مياني‏،‏ حول محورهاي‏و‏ مي باشد‏.‏ و‏ ‏ ‏توابع مجهول هستند و به چرخش هاي مرتبه بالا اشاره دار‏ن‏د.‏ ‏کليه ‏تغيير مکان هاي تعميم يافته فوق توابعي از‏و‏هستند. با انتخاب مقادير صحيح ثابت هاي‏،‏،‏و‏مي توان ميدان تغيير مکان تئوري هاي مختلف را از رابطه فوق استخراج نمود‏.
‏در تئوري کلاسيک‏:
‏(2)
‏در تئوري ‏تغيير شکل برشي ‏مرتبه اول‏:
‏(3)
‏در تئوري‏ تغيير شکل برشي‏ مرتبه دوم‏:
‏(4)
‏در تئوري‏ تغيير شکل برشي‏ مرتبه سوم‏:
‏(5)
‏شکل1- نيروها، ممان ها و ‏سينماتيک تغيير‏ ‏شکل صفحه در تئوري کلاسيک‏ و‏ تئوري‏ هاي‏ ‏تغيير شکل ‏برشي مرتبه اول و‏ ‏مرتبه‏ س‏وم[2]‏.
‏همان گونه که مشاهده مي شود، تمام تئوري هاي معرفي شده فوق را‏ ‏مي توان با يک ميدان‏ ‏تغيير مکان کلي بيان نمود؛ اما تئوري‏ لايه اي‏ اساسا‏ً‏ با تئوري هاي فوق متفاوت است. همان طور که از ميدان ‏تغيير مکان‏ (1) پيد‏است،‏ در‏ ‏اين‏ ‏گونه تئوري ها که به تئوري هاي تک لايه معادل مشهورند، مؤلفه هاي تغيير مکان با يک عبارت که تابعي پيوسته از‏ ‏ ‏در تمام طول ضخامت است‏،‏ تخمين زده مي شوند‏ و بنابراين‏ ‏پيوستگي از نوع‏ ‏ ‏را در امتداد ضخامت ايجاد‏ ‏مي نمايد.‏ ‏بنابراين ميدان کرنش نيز پيوسته بوده و همان ‏طور‏ ‏که بيان شد‏،‏ به علت ‏وجود ‏ضرايب متفاوت‏ ‏براي لايه هاي غير هم جنس،‏ ‏تنش هاي برشي عرضي (‏ و‏) در محل تماس‏ ‏لايه ها‏،‏ ناپيوسته مي گردد. تئوري‏ هاي‏ ‏لايه اي‏ به‏ هم‏ي‏ن ‏سبب‏،‏ به وجود آمدند‏. اين تئوري ميدان جابجايي با پيوستگي از نوع‏ ‏ را در هر لايه به طور ‏مجزا‏ در نظر‏ مي گيرد. بنابراين‏ اين امکان را به وجود مي آورد که‏ با اعمال ضرايب‏ ‏ ‏مختلف‏ بر ‏کرنش هاي برشي عرضي ‏نا‏پيوسته‏ در محل تماس لايه ها‏،‏ ت‏نش هاي متناظر پيوسته ‏شو‏د‏.
‏شکل2- ‏نمايش تغييرات پيوسته کرنش درون صفحه اي و تغييرات ناپيوسته تنش متناظر‏ ‏در ‏تئوري هاي تک لايه معادل[9]‏.
‏3- ‏تئوري لايه اي
‏تئوري هاي‏ لايه اي‏ در راستاي بهبود و تکامل تئوري هاي تک لايه معادل به وجود آمده اند و مبني بر ‏بسط ‏ميدان تغيير مکان منحصر به فرد در هر لايه مي باشند. برخلاف تئوري هاي تک لايه معادل، تئوري هاي ‏لايه اي‏ بر اساس فرض پيوستگي از نوع‏ ‏ ميدان جابجايي در راستاي ضخامت شکل مي گيرند‏،‏ بنابراين مؤلفه هاي تغيير مکان در طول ضخامت پيوسته خواهند بود ولي مشتقات تغيير مکان ممکن است در نقاط مختلف در راستاي ضخامت ناپيوسته باش‏ن‏د. ميدان جابجايي را در حالت کلي (سه بعدي) و شامل شش مؤلفه کرنش در نظر مي گيريم. کرنش هاي درون صفحه اي در راستاي ضخامت صفحه و به طور هم‏ ‏زمان کرنش هاي جانبي در سطوح مشترک لايه ها به طور تکه اي پيوسته خواهند بود. همچنين امکان پيوستگي تنش هاي عرضي در فصل مشترک لايه هاي متشکل از مواد غير مشابه وجود خواهد داشت. ميدان کرنش به خصوص در حالتي که تعداد لايه ها افزايش مي يابد،‏ ‏به ميدان کرنش واقعي نزديک‏ ‏تر مي شود. تغييرات جابجايي در هر لايه از طريق درونيابي خطي لاگرانژ‏ ‏يا توابع شکل درجه دو به دست مي آيد[9]‏.
‏شکل‏3- ‏تغيير شکل و ميدان تنش صفحه چند‏ ‏لايه کامپوزيتي در تئوري ‏لايه اي[9]‏.‏ از
‏تعادل نيروهاي درون لايه اي‏ (شکل (‏4‏))‏، شرايط پيوستگي ميدان تنش لايه هاي مجاور در سطوح مشترک آنان‏،‏ به صورت زير نتيجه مي شود:
‏(6)
‏شکل‏4‏- ‏تعادل تنش هاي درون لايه اي‏ ‏[9]‏.
‏از آن‏ج‏ا که در حالت کلي ‏، رابطه زير را مي توان در مورد ميدان کرنش لايه هاي مجاور نوشت:
‏(7)
‏در تمام تئوري هاي تک لايه معادل مبني بر ميدان جابجايي، مؤلفه هاي تغيير مکان به صورت توابعي پيوسته از ضخامت صفحه، فرض مي شوند. بنابراين کرنش هاي عرضي پيوسته خواهند بود و بدين ترتيب اصل بيان شده در رابطه‏ (7)‏ ‏نقض مي گردد.‏ ‏ا‏ز اين رو تمام تنش ها در‏ ‏تئوري هاي تک لايه معادل در مرز لايه ها، به ويژه تنش هاي عرضي در سطح مشترک دو لايه که به تنش هاي درون لايه اي معروف هستند، ناپيوسته ‏می باش‏ند:
‏(‏8‏)
‏در‏ ‏چند‏ ‏لايه هاي نازک‏،‏ خطاي ايجاد شده‏ ناش‏ي‏ از ناپيوستگي تنش هاي درون لايه اي قابل صرفنظر ‏کردن ‏مي باشد‏.
‏تئوري هاي‏ لايه اي‏ مبني بر‏ ‏جابجايي به دو دسته تقسيم مي شوند:
‏3-1- ‏تئوري هاي لايه ‏اي ‏جزئي1‏: که در آن از بسط لايه ‏اي‏ براي محاسبه‏ ‏مؤلفه هاي تغيير مکان درون صفحه اي استفاده مي شود.
‏3-2- ‏تئوري هاي لايه ‏اي ‏کامل2‏: که در آن از بسط لايه ‏اي‏ براي محاسبه هر سه مؤلفه تغيير مکان استفاده مي شود.‏
‏در مقايسه با تئوري هاي تک لايه معادل، تئوري هاي لايه ‏اي‏ جزئي با معرفي اثرات تنش هاي برشي عرضي لايه مجزا در ميدان جابجايي، شرايط‏ بهتري را جهت تشريح رفتار چند لايه هاي کامپوزيتي فراهم مي آور‏ن‏د. در تئوري هاي لايه ‏اي‏ کامل‏،‏ اثر ‏تنش هاي عمودي لايه مجزا نيز در نظر گرفته مي شود و دقت آن بيشتر خواهد ‏ش‏د.‏ ‏در ادامه تئوري لايه ‏اي‏ مبني بر تغيير مکان ردي يا تئوري کلي صفحه‏ ‏چند‏ ‏لايه ‏معرفي مي شود. اين تئوري بر اساس تغييرات تکه تکه خطي‏ ‏مؤلفه هاي تغيير مکان درون‏-‏صفحه اي و تغيير مکان عرضي ثابت در راستاي ضخامت، بنا نهاده شده است.‏ ‏يک چند لايه متشکل از‏ ‏ ‏لايه زير را در نظر بگيريد. مختصات‏ ‏چند لايه را روي صفحه مياني3‏ ‏قرار داده به طوري که جهت مختصات ضخامت‏، رو به بالا باشد (شکل‏ (5)‏)‏.‏ هر لايه ارتوتروپيک‏4‏ بوده و جهت اصلي ماده در آن (جهت الياف) نسبت به مختصات چند لايه دلخواه است.
1. The partial Layerwise Theory
2. The Full Layerwise Theory
3. Midplane or Middle-Surface
‏4. Orthotropic
‏شکل5- شماتيک چند لايه در جهت ضخامت [9]‏.
‏در اين تئوري براي هر نقطه دلخواه در چند لايه با مختصات (‏) ميدان تغيير مکا‏ن به صورت زير در نظر گرفته مي ش‏و‏د‏:‏
‏(‏9‏)
‏در رابطه فوق (‏) تغيير مکان هاي نقطه (‏) روي صفحه مبنا (صفحه مياني) بوده و‏و‏ ‏توابعي هستند که روي اين صفحه صفرند:
‏(10)
‏خيز جانبي مستقل از مختصات ضخامت فرض مي شود. به منظور کاهش تئوري سه بعدي به دو بعدي، مؤلفه هاي برون صفحه اي تغيير مکان، ‏و‏، به صورت ترکيبي خطي از توابع مجهول برحسب (‏) و توابع پيوسته بر حسب (‏) در نظر گرفته مي شو‏ن‏د:
‏(11)
‏که‏ ‏و‏ ‏ضرايب مجهول و‏ ‏توابع معلوم تکه تکه پيوس‏ـ‏ته‏ ‏بر‏ ‏حس‏ـ‏ب مختصات (‏) بوده و تنها در دو لايه مجاور هم تعريف مي شوند. اين توابع شرايط زير را ارضا مي کنند:
‏(12)